Nos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂y

ƒ(x, y) = sen^2(x - 3y)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais,

Primeiro vamos derivar em x,

(del f)/(del x) = (del)/(del x) (sen^2 (x - 3 y))

Vamos aplicar a regra da cadeia, em que u = s e n (x - 3 y) ,

= (del)/(del u) (u^2) * (del)/(del x) (sen (x - 3 y))

Abrindo outra regra da cadeia, v = x - 3 y

(del)/(del x) (sen (x - 3 y)) = (del)/(del v) (sen v) * (del)/(del x) (x - 3 y)

(del)/(del x) (sen (x - 3 y)) = cos v * 1

(del)/(del x) (sen (x - 3 y)) = cos ( x - 3 y )

Agora podemos retomar em u,

= 2 u * cos ( x - 3 y )

= 2 sen (x - 3 y) * cos ( x - 3 y )

Das relações trigonométricas, sen 2 x = 2 sen x * cos x

= sen (2 (x - 3 y))

(del f)/(del x) = sen (2 x - 6 y)

Passo 2

Agora em y,

(del f)/(del y) = (del)/(del y) (sen^2 (x - 3 y))

Vamos aplicar a regra da cadeia, em que u = s e n (x - 3 y) ,

= (del)/(del u) (u^2) * (del)/(del y) (sen (x - 3 y))

Abrindo outra regra da cadeia, v = x - 3 y

(del)/(del y) (sen (x - 3 y)) = (del)/(del v) (sen v) * (del)/(del y) (x - 3 y)

(del)/(del y) (sen (x - 3 y)) = cos v * ( - 3 )

(del)/(del y) (sen (x - 3 y)) = - 3 cos ( x - 3 y )

Agora podemos retomar em u,

= 2 u * (- 3 cos (x - 3 y))

= - 3 (2 sen (x - 3 y) * cos (x - 3 y))

Das relações trigonométricas, sen 2 x = 2 sen x * cos x

= - 3 sen (2 (x - 3 y))

(del f)/(del y) = - 3 sen (2 x - 6 y)

Bora pro próximo.

Resposta

(del f)/(del x) = sen (2 x - 6 y) e (del f)/(del y) = - 3 sen (2 x - 6 y) .

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