Nos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂y

f(x, y) = x / (x^2 + y^2)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais,

Primeiro vamos derivar em x,

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x x 2 + y 2

Vamos aplicar a regra do quociente,

= x 2 + y 2 ∂ ∂ x x - x ∂ ∂ x x 2 - y 2   x 2 + y 2 2

= x 2 + y 2 ⋅ 1 - x ⋅ 2 x   x 2 + y 2 2

= x 2 + y 2 - 2 x 2   x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Passo 2

Agora em y,

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x x 2 + y 2

Vamos retirar x, já que é uma constante,

= x ∂ ∂ y 1 x 2 + y 2

= x ∂ ∂ y x 2 + y 2 - 1

E agora, aplicar a regra da cadeia, sendo u = x 2 + y 2

= x ⋅ ∂ ∂ u u - 1 ⋅ ∂ ∂ y ( x 2 + y 2 )

= x ⋅ - 1 u 2 ⋅ 2 y

∂ f ∂ y = - 2 x y x 2 + y 2 2

Bora pro próximo.

Resposta

∂ f ∂ x = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 e ∂ f ∂ y = - 2 x y x 2 + y 2 2 .

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