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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 10

Nos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂y

ƒ ( x , y ) = (x)/(x^2 + y^2)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais,

Primeiro vamos derivar em x,

(del f)/(del x) = (del)/(del x) ((x)/(x^2 + y^2))

Vamos aplicar a regra do quociente,

= ((x^2 + y^2) (del)/(del x) (x) - x (del)/(del x) (x^2 - y^2))/((x^2 + y^2)^2)

= ((x^2 + y^2) * 1 - x * 2 x)/((x^2 + y^2)^2)

= ((x^2 + y^2) - 2 x^2)/((x^2 + y^2)^2)

(del f)/(del x) = (y^2 - x^2)/((x^2 + y^2)^2)

Passo 2

Agora em y,

(del f)/(del y) = (del)/(del y) ((x)/(x^2 + y^2))

Vamos retirar x, já que é uma constante,

= x (del)/(del y) ((1)/(x^2 + y^2))

= x (del)/(del y) ((x^2 + y^2)^(- 1))

E agora, aplicar a regra da cadeia, sendo u = x^2 + y^2

= x * (del)/(del u) (u^(- 1)) * (del)/(del y) ( x^2 + y^2 )

= x * (- (1)/(u^2)) * 2 y

(del f)/(del y) = - (2 x y)/((x^2 + y^2)^2)

Bora pro próximo.

Resposta

(del f)/(del x) = (y^2 - x^2)/((x^2 + y^2)^2) e (del f)/(del y) = - (2 x y)/((x^2 + y^2)^2) .

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