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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 1e

Calcule as derivadas parciais de

s = f (x , y , z , w) = x w ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2)

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de quatro variáveis e nos pede para determinar as derivadas parciais da função em relação a todas elas.

A esta altura do campeonato já não tem mais mistério! Quem sabe derivar uma função de duas variáveis sabe derivar qualquer coisa! Basta deixar tudo o resto do mundo constante enquanto você deriva em relação a uma variável específica.

Vamos lá calcular!

Passo 2

Temos s = f (x , y , z , w) = x w ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2) . Assim, calculando a derivada em x , temos:

(del f (x , y , z , w))/(del x) = x w (del)/(del x) [ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2)] + ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2) (del)/(del x) [x w]

Dai,

(del f (x , y , z , w))/(del x) = x w [(2 x)/(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)] + ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2) w

Passo 3

Agora, calculando a derivada em y , temos:

(del f (x , y , z , w))/(del y) = x w (del)/(del y) [ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2)] + ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2) (del)/(del y) [x w]

Dai,

(del f (x , y , z , w))/(del y) = x w [(2 y)/(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)] + 0

Passo 4

Agora, calculando a derivada em z , temos:

(del f (x , y , z , w))/(del z) = x w (del)/(del z) [ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2)] + ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2) (del)/(del z) [x w]

Dai,

(del f (x , y , z , w))/(del z) = x w [(2 z)/(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)] + 0

Passo 5

Por fim, calculando a derivada em w , temos:

(del f (x , y , z , w))/(del w) = x w (del)/(del w) [ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2)] + ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2) (del)/(del w) [x w]

Dai,

(del f (x , y , z , w))/(del w) = x w [(2 w)/(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)] + ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2) x

Resposta

(del f (x , y , z , w))/(del x) = x w [(2 x)/(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)] + ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2) w

(del f (x , y , z , w))/(del y) = x w [(2 y)/(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)]

(del f (x , y , z , w))/(del z) = x w [(2 z)/(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)]

(del f (x , y , z , w))/(del w) = x w [(2 w)/(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)] + ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2) x

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