Calcule as derivadas parciais de

s = f(x, y, z, w) = xw \* ln(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de quatro variáveis e nos pede para determinar as derivadas parciais da função em relação a todas elas.

A esta altura do campeonato já não tem mais mistério! Quem sabe derivar uma função de duas variáveis sabe derivar qualquer coisa! Basta deixar tudo o resto do mundo constante enquanto você deriva em relação a uma variável específica.

Vamos lá calcular!

Passo 2

Temos s = f x , y , z , w = x w ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 . Assim, calculando a derivada em x , temos:

∂ f x , y , z , w ∂ x = x w ∂ ∂ x ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 + ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 ∂ ∂ x x w

Dai,

∂ f x , y , z , w ∂ x = x w 2 x x 2 + y 2 + z 2 + w 2 + ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 w

Passo 3

Agora, calculando a derivada em y , temos:

∂ f x , y , z , w ∂ y = x w ∂ ∂ y ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 + ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 ∂ ∂ y x w

Dai,

∂ f x , y , z , w ∂ y = x w 2 y x 2 + y 2 + z 2 + w 2 + 0

Passo 4

Agora, calculando a derivada em z , temos:

∂ f x , y , z , w ∂ z = x w ∂ ∂ z ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 + ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 ∂ ∂ z x w

Dai,

∂ f x , y , z , w ∂ z = x w 2 z x 2 + y 2 + z 2 + w 2 + 0

Passo 5

Por fim, calculando a derivada em w , temos:

∂ f x , y , z , w ∂ w = x w ∂ ∂ w ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 + ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 ∂ ∂ w x w

Dai,

∂ f x , y , z , w ∂ w = x w 2 w x 2 + y 2 + z 2 + w 2 + ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 x

Resposta

∂ f x , y , z , w ∂ x = x w 2 x x 2 + y 2 + z 2 + w 2 + ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 w

∂ f x , y , z , w ∂ y = x w 2 y x 2 + y 2 + z 2 + w 2

∂ f x , y , z , w ∂ z = x w 2 z x 2 + y 2 + z 2 + w 2

∂ f x , y , z , w ∂ w = x w 2 w x 2 + y 2 + z 2 + w 2 + ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + w 2 x

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