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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 12

Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P 0 na direção de u .

f x ,   y = 2 x 2 + y 2 ,     P 0 - 1 ,   1 ,           u = 3 i - 4 j

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo!

O vetor gradiente de f x ,   y em um ponto P 0 x 0 ,   y 0 é o vetor

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em P 0 .

Então, primeiramente, iremos encontrar o gradiente de f no ponto - 1 ,   1 , onde:

∇ f = 4 x i + 2 y j

= 4 ∙ - 1 i + 2 ∙ 1 j

∇ f = - 4 i + 2 j

Passo 2

A notação de vetor gradiente para a derivada direcional, pode ser escrita como:

D u f x ,   y = ∇ f x ,   y ∙ u

Porém, podemos observar que u não é um vetor unitário, mas, sabemos que:

u = a i + b j

O vetor unitário é dado por:

v = u u

Onde:

u = a ,   b = a 2 + b 2

Logo:

u = 3 2 + - 4 2

u = 5

Então o vetor unitário na direção de u é:

v = u u = u 5

v = 3 5 i - 4 5 j

Passo 3

A derivada de f em - 1 ,   1 na direção de u é:

D u f - 1 ,   1 = ∇ f - 1 ,   1 ∙ v

= - 4 i + 2 j ∙ 3 5 i - 4 5 j

= - 4 ∙ 3 5 - 2 ∙ 4 5

= - 12 5 - 8 5

D u f - 1 ,   1 = - 4

Resposta

D u f = - 4 .

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