6- Seja f x ,   y = x y x 2 + y 2 ,   x ,   y ≠ ( 0,0 ) 0 ,   x ,   y = ( 0,0 )

Mostre que:

a)f(x, y) é contínua em (0, 0)

Passo 1

Amíguíneos, para fazermos essa questão nós só temos que lembrar de uma coisa:

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ f x ,   y = f ( 0,0 )

Ok?

Então,bora começar esse exercício!

Passo 2

Nós temos:

l i m x ,   y → ( 0 ,   0 ) x y x 2 + y 2

Cara, essa função é meio traçoeira porque diferente de muitas ele tem esse módulo só pra complicar as nossas vidas. Então, vamos resolver isso com calma.

Olha só, repara que:

x 2 + y 2 ≥ x 2

E nós sabemos que:

x 2 = x

Portanto,

x 2 + y 2 ≥ x

Tranquilo até aqui ????

Se nós colocarmos o módulo em f x ,   y ,   teremos:

f ( x ,   y ) = x y x 2 + y 2

Mas porque não colocamos o módulo fora da raiz ??? Lembra que a raiz quadrada só nos dá valores positivos, então o módulo não se faz necessário. Ok ?

Nós também podemos dizer que:

x y x 2 + y 2 ≤ x y x 2

Mas de onde saiu essa bagaça ???

Cara, lembra que lá em cima nós reparamos que:

x 2 + y 2 ≥ x 2

O quer dizer que:

1 x 2 + y 2 ≤ 1 x 2

Né?!

Passo 3

Como

x 2 = x

Assim,

x y x 2 + y 2 ≤ y

Mas, x y x 2 + y 2 é a nossa função f ( x ,   y ) ,portanto, pela propriedade do módulo:

- y ≤ f ( x ,   y ) ≤ y

Quando y → 0 , f ( x ,   y ) → 0 , fechou ?!

Passo 4

Pela definição, f 0,0 = 0 , portanto,

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ f x ,   y = f 0,0 = 0

Isso quer dizer que a nossa função é contínua.

Resposta

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ f x ,   y = f ( 0,0 ) = 0

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