6- Seja f (x , y) = {[[(|x| y)/(sqrt(x^2 + y^2)) , (x , y) != ( 0,0 )],[0 , (x , y) = ( 0,0 )]])

Mostre que:

b) f ( x , y ) não é diferenciável em (0 , 0) .

Passo 1

Amíguíneos, para fazermos essa questão nós vamos usar a definição de diferenciabilidade, que é essa aqui:

underset((x , y) -> ( a , b ))(lim) (r (x , y))/(‖(x , y) - (a , b)‖) = 0

Ok?

Então,bora começar esse exercício!

Passo 2

Nós temos:

underset((x , y) -> ( 0,0 ))(lim) ((|x| y)/(sqrt(x^2 + y^2)))/(sqrt(x^2 + y^2)) = underset((x , y) -> ( 0,0 ))(l i m) (|x| y)/(x^2 + y^2)

Cara, se a gente aproximar ( 0 , 0 ) por pontos sobre a reta y = x :

underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (|x| x)/(x^2 + x^2)

Dessa forma, podemos considerar:

underset(x -> 0)(l i m) (|x| x)/(x^2 + x^2)

Mas pera aêêê !!! Nós temos um módulo no x , então temos que abrir esse limite em dois casos:

x < 0 :

underset(x -> 0)(l i m) (- x x)/(x^2 + x^2) = underset(x -> 0)(l i m) (- x^2)/(2 x^2) = - (1)/(2)

x > 0 :

underset(x -> 0)(l i m) (x x)/(x^2 + x^2) = underset(x -> 0)(l i m) (x^2)/(2 x^2) = (1)/(2)

Como nossos limites deram diferentes, quer dizer que pelo caminho que nós tomamos o nosso limite não existe. Isso quer dizer que a função não é diferenciável no ( 0 , 0 ) , já que pela definição o nosso limite deveria dar zero.

Resposta

Demonstração acima.

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