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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 10c

10. Uma chapa de metal aquecida está situada no plano x y de tal modo que a temperatura é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em 3,4 é de 100 graus. Suponha que os eixos 0 x e 0 y apontam, respectivamente, para leste e norte. Um objeto se encontra no ponto P 0 = 2,2 .

c) Se a velocidade em que o objeto se move na direção do item b) é de 1 5 m / s , calcule a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no ponto P 0 .

Passo 1

Para calcular a variação da temperatura em relação ao tempo, o que precisamos fazer é calcular a derivada direcional de f na direção do vetor velocidade que é v = ( - 1 5 , - 1 5 ) , pois o vetor inicial é ( - 1 , - 1 ) e a velocidade é de 1 5 m / s .

Agora vamos calcular a derivada direcional na direção de v = - 1 5 , - 1 5 = : ∂ f ∂ σ ' P = ∇ f P . v = - 500 x ( x 2 + y 2 ) 3 , - 500 y ( x 2 + y 2 ) 3 . - 1 5 , - 1 5 50 = 1 2 500 x + y 5 ( x 2 + y 2 ) 3

Agora calculando em P 0 , temos:

∂ f ∂ σ ' P 0 = 1 2 100 2 + 2 ( 2 2 + 2 2 ) 3 = 400 2.8 3 = 400 16 2 . 2 = 400 32 = 25 2

Resposta

25 2

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