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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 5a

5- Sejam f (x , y) = {[[(x^3)/(x^2 + y^2) , (x , y) != ( 0 , 0 )],[0 , (x , y) = ( 0 , 0 )]]) e u = (1 , 1) .

a)Calcule (del f)/(del u) (0 , 0) , usando a definição.

Passo 1

a)Primeira coisa que temos que pensar aqui... Qual a definição, né ?!

Olha é essa aqui:

(del f)/(del u) (P_0) = underset(t -> 0)(lim) ((f (P_0 + t u) - f (P_0)))/(t ‖u‖)

Cara,

(P_0 + t u) = (0,0) + (t , t) = ( t , t )

Assim,

f (P_0 + t u) = (t^3)/(t^2 + t^2)

Epaaa, que aqui você pode estar pensando... Porque eu tenho que usar a primeira expressão para f (P_0 + t u) ???

Cara, se nós olharmos a definição, nós percebemos que f ( P_0 ) é calculado no ponto P_0 , já f (P_0 + t u) é calculado fora do nosso ponto, pois como t != 0 (ele está no denominador), P_0 + t u != 0 . Por isso, nós precisamos das definições de f para calcular (del f)/(del u) (0 , 0) . A verdade é que essa tranqueira toda acontece porque a bendita função muda de definição no ponto que o enunciado pede, sacou ??? Agora sim podemos continuar!

Também temos:

f (P_0) = 0

‖u‖ = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2)

Passo 2

Trocando os nossos dados na fórmula da definição, temos:

underset(t -> 0)(lim) (((t^3)/(t^2 + t^2) - 0))/(sqrt(2) t) = underset(t -> 0)(lim) ((t^3)/(2 t^2))/(sqrt(2) t) = underset(t -> 0)(l i m) (t^3)/(2 t^3 sqrt(2))

= underset(t -> 0)(l i m) (1)/(2 sqrt(2)) = (sqrt(2))/(4)

Resposta

(sqrt(2))/(4)

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