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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 16

Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P 0 na direção de u .

f x ,   y ,   z = x 2 + 2 y 2 - 3 z 2 ,     P 0 1 ,   1 ,   1 ,           u = i + j + k

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo!

Para uma função diferenciável f x ,   y ,   z e um vetor unitário u = u 1 i + u 2 j + u 3 k no espaço, temos o seguinte vetor gradiente

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Primeiramente iremos calcular o gradiente de f no ponto 1 ,   1 ,   1 :

∇ f = 2 x i + 4 y j - 6 z k

= 2 ∙ 1 i + 4 ∙ 1 j - 6 ∙ 1 k

∇ f = 2 i + 4 j - 6 k

Passo 2

A notação de vetor gradiente para a derivada direcional, pode ser escrita como:

D u f x ,   y ,   z = ∇ f x ,   y ,   z ∙ u

Porém, podemos observar que u não é um vetor unitário, mas, sabemos que:

u = a i + b j + c k

O vetor unitário é dado por:

v = u u

Onde:

u = a ,   b ,   c = a 2 + b 2 + c 2

Logo:

u = 1 2 + 1 2 + 1 2

u = 3

Então o vetor unitário na direção de u é:

v = u u = u 3

v = 1 3 i + 1 3 j + 1 3 k

Passo 3

A derivada de f em 1 ,   1 ,   1 na direção de u é:

D u f 1 ,   1 ,   1 = ∇ f 1 ,   1 ,   1 ∙ v

= 2 i + 4 j - 6 k ∙ 1 3 i + 1 3 j + 1 3 k

= 2 3 + 4 3 - 6 3 = 0

D u f 1 ,   1 ,   1 = 0

Resposta

D u f = 0 .

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