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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 15

Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P 0 na direção de u .

f x ,   y ,   z = x y + y z + z x ,     P 0 1 ,   - 1 ,   2 ,           u = 3 i + 6 j - 2 k

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo!

Para uma função diferenciável f x ,   y ,   z e um vetor unitário u = u 1 i + u 2 j + u 3 k no espaço, temos o seguinte vetor gradiente

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Primeiramente iremos calcular o gradiente de f no ponto 1 ,   - 1 ,   2 :

∇ f = y + z i + x + z j + y + x k

= - 1 + 2 i + 1 + 2 j + - 1 + 1 k

∇ f = i + 3 j + 0 k

Passo 2

A notação de vetor gradiente para a derivada direcional, pode ser escrita como:

D u f x ,   y ,   z = ∇ f x ,   y ,   z ∙ u

Porém, podemos observar que u não é um vetor unitário, mas, sabemos que:

u = a i + b j + c k

O vetor unitário é dado por:

v = u u

Onde:

u = a ,   b ,   c = a 2 + b 2 + c 2

Logo:

u = 3 2 + 6 2 + - 2 2

u = 7

Então o vetor unitário na direção de u é:

v = u u = u 7

v = 3 7 i + 6 7 j - 2 7 k

Passo 3

A derivada de f em 1 ,   - 1 ,   2 na direção de u é:

D u f 1 ,   - 1 ,   2 = ∇ f 1 ,   - 1 ,   2 ∙ v

= i + 3 j + 0 k ∙ 3 7 i + 6 7 j - 2 7 k

= 3 7 + 3 ∙ 6 7 - 0 = 3 7 + 18 7 = 21 7

D u f 1 ,   - 1 ,   2 = 3

Tchau pessoal, até mais!

Resposta

D u f = 3 .

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