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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 18

Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P o na direção de u .

h x , y , z = cos ⁡ x y + e y z + ln ⁡ z x

P 0 = 1 ,   0 ,   1 / 2  

u = i + 2 j + 2 k

Passo 1

Fala galera, bora lá! O versor de A é o vetor unitário obtido dividindo A por seu comprimento:

u = A A = i + 2 j + 2 k 1 2 + 2 2 + 2 2

Isso será

u = 1 3 i + 2 3 j + 2 3 k

Passo 2

As derivadas parciais de h são contínuas em todos os pontos, iremos derivar em relação a

X:

h x x , y , z = - y sin ⁡ x y + 1 x

Y:

h y x , y , z = - x sin ⁡ x y + z e y z

Z:

h z x , y , z = y e y z + 1 z

E em ( 1 ,   0 ,   1 / 2 ) são dadas por

h x 1 ,   0 ,   1 / 2 = 1

h y 1 ,   0 ,   1 / 2 = 1 2

h z 1 ,   0 ,   1 / 2 = 2

Passo 3

O vetor gradiente (gradiente) de h x , y , z em um ponto P 0 x 0 , y 0 ,   z 0 é o vetor

∇ h = ∂ h ∂ x i + ∂ h ∂ y j + ∂ h ∂ z k

Assim, o gradiente de h em ( 1 ,   0 ,   1 / 2 ) é

∇ h   | 1 ,   0 ,   1 / 2 = h x 1 ,   0 ,   1 / 2 i + h y 1 ,   0 ,   1 / 2 j + h z 1 ,   0 ,   1 / 2 k

Substituindo os valores

∇ h   | 1 ,   0 ,   1 / 2 = i + 1 2 j + 2 k

Passo 4

Segundo o Teorema 9, se h x ,   y , z for diferenciável em uma região aberta contendo P 0 x 0 ,   y 0 , z 0 , então

d h d s u ,   P 0 = ∇ h P 0 ∙ u

o produto escalar do gradiente ∇ h em P 0 e u .

Passo 5

Logo, a derivada de h em ( 1 ,   0 ,   1 / 2 ) na direção de u é, portanto,

D u h   | ( 1 ,   0 ,   1 / 2 ) = ∇ h   | 1 ,   0 ,   1 / 2   ∙ u

D u h   | ( 1 ,   0 ,   1 / 2 ) = 1 3 + 2 6 + 4 3 = 2

Resposta

A derivada de h em ( 1 ,   0 ,   1 / 2 ) na direção de u é

D u h   | ( 1 ,   0 ,   1 / 2 ) = 2

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