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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 17

Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P 0 na direção de u .

f x ,   y ,   z = 3 e x cos ⁡ y z ,     P 0 0 ,   0 ,   0 ,           u = 2 i + j - 2 k

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo!

Para uma função diferenciável f x ,   y ,   z e um vetor unitário u = u 1 i + u 2 j + u 3 k no espaço, temos o seguinte vetor gradiente

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Para realizarmos a derivada precisamos relembrar a seguinte regrinha:

y = e u → y ' = u ' e u                               y = cos ⁡ v → y ' = - v ' sen ⁡ v

Então vamos considerar u = x     v = y z . Sendo assim, o gradiente de f no ponto 0 ,   0 ,   0 é:

∇ f = 3 e x cos ⁡ y z i - 3 e x z sen ⁡ y z j - 3 e x y sen ⁡ y z k

= 3 e 0 cos ⁡ 0 i - 3 e 0 ∙ 0 ∙ sen ⁡ 0 j - 3 e 0 ∙ 0 ∙ sen ⁡ 0 k

∇ f = 3 i - 0 j - 0 k

Passo 2

A notação de vetor gradiente para a derivada direcional, pode ser escrita como:

D u f x ,   y ,   z = ∇ f x ,   y ,   z ∙ u

Porém, podemos observar que u não é um vetor unitário, mas, sabemos que:

u = a i + b j + c k

O vetor unitário é dado por:

v = u u

Onde:

u = a ,   b ,   c = a 2 + b 2 + c 2

Logo:

u = 2 2 + 1 2 + - 2 2

u = 3

Então o vetor unitário na direção de u é:

v = u u = u 3

v = 2 3 i + 1 3 j - 2 3 k

Passo 3

A derivada de f em 0 ,   0 ,   0 na direção de u é:

D u f 0 ,   0 ,   0 = ∇ f 0 ,   0 ,   0 ∙ v

= 3 i - 0 j - 0 k ∙ 2 3 i + 1 3 j - 2 3 k

= 2 ∙ 3 3 + 0 - 0 = 2

D u f 0 ,   0 ,   0 = 2

Tchau galerinha!!

Resposta

D u f = 2 .

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