Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P0 na direção de u .

f(x, y) = 2xy - 3y^2, P_0(5, 5), u = 4i + 3j

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo!

O vetor gradiente de f x ,   y em um ponto P 0 x 0 ,   y 0 é o vetor

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em P 0 .

Então, primeiramente, iremos encontrar o gradiente de f no ponto 5 ,   5 , onde:

∇ f = 2 y i + 2 x - 6 y j

= 2 ∙ 5 i + 2 ∙ 5 - 6 ∙ 5 j

= 10 i + 10 - 30 j

∇ f = 10 i - 20 j

Passo 2

A notação de vetor gradiente para a derivada direcional, pode ser escrita como:

D u f x ,   y = ∇ f x ,   y ∙ u

Porém, podemos observar que u não é um vetor unitário, mas, sabemos que:

u = a i + b j

O vetor unitário é dado por:

v = u u

Onde:

u = a ,   b = a 2 + b 2

Logo:

u = 4 2 + 3 2

u = 5

Então o vetor unitário na direção de u é:

v = u u = u 5

v = 4 5 i + 3 5 j

Passo 3

A derivada de f em 5 ,   5 na direção de u é:

D u f 5 ,   5 = ∇ f 5 ,   5 ∙ u

= 10 i - 20 j ∙ 4 5 i + 3 5 j

= 10 ∙ 4 5 - 20 ∙ 3 5

= 8 - 12

D u f 5 ,   5 = - 4

Resposta

D u f = - 4 .

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