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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios práticos - Ex. 38

Nos Exercícios 37-40, encontre as direções nas quais ƒ cresce e decresce mais rapidamente em P0 e encontre a derivada de ƒ em cada direção. Encontre também a derivada de ƒ em P0 na direção do vetor v.

f x , y = x 2 e - 2 y   P 0 1 , 0

v = i + j

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! Para encontrarmos as direções de crescimento e decrescimento de f precisamos achar o seu gradiente, dado por:

∇ f = δ f δ x i + δ f δ y j + δ f δ z j

E a partir disso, encontraremos o vetor unitário do gradiente de ∇ f .

Temos então que para:

f x , y = cos ⁡ x cos ⁡ y ,   P 0 π 4 , π 4

Temos:

∇ f = 2 x e - 2 y i - 2 x 2 e - 2 y j

Dessa forma aplicado ao ponto:

∇ f = 2 i - 2 j

Para encontrar o vetor unitário, precisamos primeiro do módulo de ∇ f , dado por:

∇ f = 2 2 + 2 2

∇ f = 2 2

O vetor unitário gradiente por sua vez é dado por:

u = ∇ f ∇ f = 1 2 i - 1 2 j

Significando que f cresce mais rapidamente nessa direção, e descresce justamente no negativo dela, ou seja:

- u = - 1 2 i + 1 2 j

Resposta

d y d x = - ( ln ⁡ 2 + 1 )

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