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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 20

14.20. Estipule a derivada direcional de d x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 em P ( 2,1 , 3 ) em direção à origem.

Passo 1

Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui a gente quer calcular a derivada direcional da função:

d x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

A gente quer calcular essa derivada partindo de P 2,1 , 3 em direção a 0,0 , 0 .

O modo mais simples de resolver esse exercício é usar a equação 14 :

D u f x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ u

Nessa fórmula que ∇ f é o gradiente da função, e é dado por:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z

E u é o vetor unitário direcional da nossa derivada direcional. Ele é dado por:

u = v v

Sendo que v é o vetor da derivada direcional, ou seja, é o vetor que parte de P em direção a origem.

Passo 2

Então vamos começar calculando:

∇ f x , y , z

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z

Temos que nossa função é:

d x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Derivando parcialmente cada coordenada:

∇ f x , y , z = 2 x i + 2 y j + 2 z k

Passo 3

E precisamos também do u que é um vetor unitário que está na mesma direção do vetor que vai do ponto P até à origem.

Bem esse vetor pode ser construído da seguinte forma:

u = P O → P O →

Sendo P O → :

P O → = O - P

P O → = 0,0 , 0 - 2,1 , 3

P O → = - 2 , - 1 , - 3

Então continuando o calculo do nosso vetor unitário:

u = - 2 i - 1 j - 3 z - 2 2 + - 1 2 + - 3 2

u = 1 14 - 2 i + 1 j - 3 k

Passo 4

Agora é só colocar na equação:

D u f x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ u

Colocando o ponto:

D u f 2,1 , 3 = ∇ f 2,1 , 3 ⋅ u

Colocando o ponto no nosso gradiente:

∇ f x , y , z = 2 x i + 2 y j + 2 z k

Temos:

D u f 2,1 , 3 = 2 ( 2 ) i + 2 ( 1 ) j + 2 ( 3 ) k ⋅ 1 14 - 2 i + 1 j - 3 k

Realizado o cálculo:

D u f 2,1 , 3 = 4 i + 2 j + 6 k ⋅ 1 14 - 2 i + 1 j - 3 k

Fazendo esse produto escalar

D u f 2,1 , 3 = - 28 14  

Racionalizando:

D u f 2,1 , 3 = - 2 14  

E terminamos.

Resposta

D u f 2,1 , 3 = - 2 14  

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