14.13. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor v

g(s, t) = s^2 * e^t, 2,0 v = i + j

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Aqui a gente precisa encontrar a derivada direcional da função:

g s , t = s 2 e t

Na direção do vetor:

v = i + j

E no ponto:

2,0

O modo mais simples de resolver esse exercício é usar a equação 14

D u g s , t = ∇ g s , t ⋅ u

Em que ∇ g é o vetor gradiente:

∇ g = g s , g t

E:

u

É o vetor unitário do vetor direcional, em casos que o vetor dado não é unitário, iremos dividir as coordenadas do vetor pelo seu modulo.

Passo 2

Então vamos começar calculando

∇ g s , t

∇ g s , t = ∂ g ∂ s i + ∂ g ∂ t j

∇ g s , t = 2 s e t i + s 2 e t j

E precisamos também do u que é um vetor unitário na direção de v . Bem esse vetor pode ser construído da seguinte forma

u = v v

Dividindo pelo seu modulo:

u = 1 i + 1 j 1 2 + 1 2

u = 1 2 i + j

Passo 3

Agora é só colocar na equação:

D u g s , t = ∇ g s , t ⋅ u

Substituindo o ponto dado:

D u g 2,0 = ∇ g 2,0 ⋅ u

Veja que temos aqui um produto escalar:

D u g 2,0 = 2 2 e 0 i + 2 2 e 0 j ⋅ 1 2 i + j

D u g 2,0 = 4 i + 4 j ⋅ 1 2 i + j

Multiplicando cada coordenada de um vetor pelo seu respectivo no outro vetor e realizando a soma:

D u g 2,0 = 8 2

E terminamos.

Resposta

D u g 2,0 = 8 2

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