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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 6c

6- Seja f x ,   y = x y x 2 + y 2 ,   x ,   y ≠ ( 0,0 ) 0 ,   x ,   y = ( 0,0 )

Mostre que:

c) f ( x ,   y ) possui derivadas direcionais em todas as direções no ponto 0 ,   0 .

Passo 1

Cara, aqui nós vamos utilizar a definição de ∂ f ∂ u .   Mas para isso seria bom se nós lembrássemos qual é essa definição, né ?!

Olha é essa aqui:

∂ f ∂ u P 0 = lim t → 0 ⁡ f P 0 + t u - f P 0 t u

Passo 2

Vamos admitir que o nosso vetor u = ( a ,   b ) . Assim,

lim t → 0 ⁡ f ( 0,0 ) + t u - f 0,0 t a 2 + b 2 = lim t → 0 ⁡ f a t ,   b t - 0 t = lim t → 0 ⁡ a t b t a t 2 + b t 2 t a 2 + b 2

= lim        t → 0   1 t ⁡ t 2 a b t   a 2 + b 2

= lim        t → 0   ⁡ a b   a 2 + b 2

a b   a 2 + b 2

Isso quer dizer que a derivada direcional existe e só depende da coordenada do vetor. Portanto, temos derivadas direcionais em todas as direções no ponto 0 ,   0 .

Resposta

Demonstração acima.

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