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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios práticos - Ex. 41

Derivada na direção da velocidade Encontre a derivada de ƒ(x, y, z) = xyz na direção do vetor velocidade da hélice

r t = cos ⁡ 3 t i + s e n   3 t j + 3 t k

Em t = π 3

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! O vetor de velocidade da hélice é dado por:

r t = cos ⁡ 3 t i + s e n   3 t j + 3 t k

Dessa forma, o vetor direção pode ser dado por:

v t = - 3   s e n   3 t i + 3 cos ⁡ 3 t j + 3 k

Aplicando ao ponto t = π / 3 , temos:

v t = - 3 j + 3 k

Dessa forma, o vetor unitário para a aproximação pode ser dada por:

u = - 1 2 j + 1 2 k

f x , y , z = x y z

Dessa forma:

∇ f = y z i + x z j + x y k

Passo 2

Assim, aplicando ao ponto da hélice em ( - 1,0 , π ) :

∇ f ⋅ u = - π j ⋅ - 1 2 j + 1 2 k = π 2

Resposta

∇ f ⋅ u = π 2

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