Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 12b
12. O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da orbita de Mercúrio. Ele está na posição , e a temperatura de blindagem de sua espaçonave num ponto é dada por graus.
b) Se a espaçonave viaja a unidades de comprimento por segundo, com que taxa a temperatura irá cair quando ele seguir a direção do item a)?
Passo 1
Para calcular a taxa de variação da temperatura, precisamos calcular a derivada direcional na direção de e consideramos que nessa direção, sua magnitude aumenta em , isto é, o vetor que determina o deslocamento é .
Agora vamos calcular a derivada direcional:
Para agilizar, já vou calcular o gradiente de no ponto :
Resposta
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Seja g r , θ = f x , y , com x = r cos θ e y = r sin θ , onde f x , y , é suposta diferenciável num aberto de R 2 . Sejam u → = cos θ i ^ + sin θ j ^ e v → = - sin θ i ^ + cos θ j ^ . Most
Suponha f ( x , y ) diferenciável no aberto A . Sejam ( s , t ) as coordenadas do vetor ( x , y ) em relação à base ( u → ,v → ) , onde u → = ( cos α ,s e nα ) e v → = ( - s e nα , cos α ) . Consi
Calcule ∂ f ∂ u → ( x 0 , y 0 ) , sendo dados:a) f x , y = x 2 - 3 y 2 , x 0 , y 0 = ( 1,2 ) e u → o versor de 2 i → + j → .b) f x , y = e x 2 - y 2 , x 0 , y 0 = ( 1,1 ) e u → o versor de ( 3 ,4 ) .c
Seja F r , θ , ϕ = f ( x , y , z ) , com x = rs e nϕ cos θ , y = rs e nϕs e nθ e z = r cos ϕ , onde f é suposta diferenciável num aberto do R 3 . Prove que ∇ f x , y , z = ∂ F ∂ r r , θ , ϕu → + 1
Seja f ( x , y , z ) diferenciável num aberto do R 3 e sejam u → , v → e w → vetores do R 3 , unitários e dois a dois ortogonais. Prove: ∇ f x , y , z = ∂ f ∂ u → x , y , zu → + ∂ f ∂ v → x , y , zv →