12. O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da orbita de Mercúrio. Ele está na posição P0 = (1,1,1) , e a temperatura de blindagem de sua espaçonave num ponto (x, y, z) é dada por T(x, y, z) = e^(-x^2 - 2y^2 - 3z^2) graus.

b) Se a espaçonave viaja a e^8 unidades de comprimento por segundo, com que taxa a temperatura irá cair quando ele seguir a direção do item a)?

Passo 1

Para calcular a taxa de variação da temperatura, precisamos calcular a derivada direcional na direção de v = ( - 2 e - 6 , - 4 e - 6 , - 6 e - 6 ) e consideramos que nessa direção, sua magnitude aumenta em e 8 , isto é, o vetor que determina o deslocamento é e 8 . 1,2 , 3 .

Agora vamos calcular a derivada direcional:

∂ T ∂ v = ∇ T   .     v v = - 2 x e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 , - 4 y e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 , - 6 z e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2   . e 8 1,2 , 3 14

Para agilizar, já vou calcular o gradiente de T no ponto P 0 = ( 1,1.1 ) :

∂ T ∂ v = ∇ T   .     v v = - 2 . - e - 6 , - 2 e - 6 , - 3 e - 6   .     1,2 , 3 14 = - 2 e - 6 . e 8 14 - 1 - 4 - 9 = - 2 e 2 . 14 14 = - 2 e 2 . 14

Resposta

- 2 e 2 . 14

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