Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 22

Nos Exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P0. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! A primeira coisa que temos que achar, é a direção nas quais as funções aumentam e diminuem em relação a um Para isso, temos que achar o vetor gradiente. Ele é dado por:

Dessa forma, para a nossa função, temos:

Shoooow. Agora é aplicar ao ponto . Para isso, substituiremos na nossa função gradiente. Ou seja:

E como levamos isso para achar a forma em que eles aumentam ou diminuem? Acharemos a direção das derivadas do nosso vetor, dado por . Dessa forma:

Aplicando:

Ou seja:

Passo 2

Agora temos a interpretação disso.

Isso significa que a nossa função cresce mais rapidamente na direção de , ou seja, o próprio:

Isso também significa que a nossa função diminui mais rapidamente na direção de , ou seja:

Que beleza, meus camaradas! Agora acharemos a derivada da função nessa direção! Temos:

E analogamente,

E é isso my good green fellas, até a próximas xuxuzinhos

Resposta

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Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada. 3 ∂ f ∂ x + 2 ∂ f ∂ y = 0

Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. e 2 x - y + 2 x + 2 y = 4 ,e m 1 2 , 1

É dada uma curva γ que passa pelo ponto γ t 0 = ( 1,3 ) e cuja imagem está contida na curva de nível x 2 + y 2 = 10 . Suponha que γ ' t 0 ≠ 0 → .a) Determine a equação da reta tangente a γ no ponto (

Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado. z e x - y + z 3 = 2 , e m 2 ,2 ,1

A imagem da curva γ ( t ) está contida na intersecção da superfície cilíndrica x 2 + y 2 = 2 com a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Suponha que γ t 0 = ( 1 ,1 ,1 ) e γ ' t 0 ≠ 0 → .a) Determi