Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.1 - Ex. 6a
Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.
Passo 1
A questão pede para acharmos soluções da equação diferencial parcial dada:
A dica para resolver problemas assim é reescrever a equação como um produto escalar:
Ou ainda,
Passo 2
Como o gradiente de é perpendicular às curvas de nível para todo no domínio de e, neste caso, temos que o gradiente também é perpendicular ao vetor , temos que, em todos os pontos, o vetor é tangente às curvas de nível.
Desta forma, como o vetor tangente às curvas de nível é constante, essas curvas são retas cujo vetor diretor é .
Desta forma, temos que
Como o vetor diretor é , o coeficiente angular dessas retas é
Portanto,
Passo 3
Temos então que as curvas de nível de são retas paralelas cujas equações são
Assim, as soluções da equação diferencial parcial são funções de duas variáveis que assumem sempre o mesmo valor sobre as retas dadas pela equação acima, que é do tipo . Portanto, a solução mais geral da equação diferencial é
onde é uma função derivável de uma variável.