Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.1 - Ex. 1
É dada uma curva que passa pelo ponto e cuja imagem está contida na curva de nível . Suponha que .
a) Determine a equação da reta tangente a no ponto .
b) Determine uma curva satisfazendo as condições acima.
Passo 1
A questão pede para determinar a reta tangente a curva no ponto . Uma informação importante é que a imagem da curva está contida na circunferência de equação . Desta forma, o que precisamos achar é a equação da reta tangente à essa circunferência no ponto .
Poderíamos usar derivação implícita para achar a derivada da curva e assim tirar o coeficiente angular, mas essa é a abordagem que usamos em cálculo 1. Nesta seção foi apresentado um método usando o vetor gradiente.
Sabemos que o gradiente de uma função de duas variáveis é ortogonal as curvas de nível. Assim, consideremos a função , de modo que a circunferência é a curva de nível dessa função. Calculando o gradiente:
Usando e :
Passo 2
O vetor gradiente é ortogonal à curva de nível, mas queremos o vetor tangente. O que fazer? Devemos achar um vetor que que será perpendicular ao gradiente. Para isso, o produto escalar deles deve ser zero:
Portanto,
Como só estamos interessados na direção da reta tangente quando procuramos o vetor diretor da reta tangente, vamos tomar , então teremos que de modo que o vetor diretor será:
Sabemos que a equação da reta que passa pelo ponto com vetor diretor é dada por:
Assim, a equação pedida no item (a) será
Passo 3
No item (b) devemos dar uma parametrização para a curva. Note que
Ajeitando isso dai, ficamos com
Agora temos algo parecido como uma circunferência, lembra?
Nesse caso temos que , e
Então, como temos uma circunferência vamos pensar nas nossas coordenadas polares!
Portanto,
*Cuidado que as respostas desse problema não são únicas hein!
Resposta
a)
b)