Calcule:
- O fluxo de através da superfície do sólido limitado pelas esferas e , , orientadas com sentidos opostos ( n aponta para fora do sólido ).
Passo 1
Vamos lá! O fato das esferas serem superfícies nos permite usar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo.
O teorema de Gauss nos fornece que
Passo 2
Agora podemos calcular o divergente.
Onde
Podemos calcular as derivadas percebendo que elas são do tipo
Portanto
Podemos calcular os outros de forma análoga.
Podemos colocar em evidencia , assim teremos
Passo 3
Agora podemos começar a resolver a integral
Para calcular esta integral podemos fazer uma mudança para usar as coordenadas esféricas
e
Como estamos trabalhando com na região situada entre as esferas de raio e b, . Temos
Agora podemos reescrever nossa integral como
Portanto
Passo 4
Como vimos antes
Sendo assim