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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.12 - Ex. 11a

Calcule:

  1. O fluxo de F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 ( x , y , z ) através da superfície do sólido W limitado pelas esferas x 2 + y 2 + z 2 = a 2 e x 2 + y 2 + z 2 = b 2 , a < b , orientadas com sentidos opostos ( n aponta para fora do sólido W ).

Passo 1

Vamos lá! O fato das esferas serem superfícies nos permite usar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo.

O teorema de Gauss nos fornece que

∬ S F →     .   n →   d s = ∭ W d i v F → d V .

Passo 2

Agora podemos calcular o divergente.

d i v   F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Onde

∂ F 1 ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 - 1   x

∂ F 2 ∂ y = ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2 - 1   y

∂ F 3 ∂ z = ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2 - 1   z

Podemos calcular as derivadas percebendo que elas são do tipo

∂ ∂ x u v = v ∂ u ∂ x - u ∂ v ∂ x v 2  

Portanto

∂ F 1 ∂ x = ∂ ∂ x x x 2 + y 2 + z 2 = 1 . x 2 + y 2 + z 2 - x   .   2 x x 2 + y 2 + z 2 2

= x 2 + y 2 + z 2 -   2 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2

Podemos calcular os outros de forma análoga.

∂ F 2 ∂ y = x 2 + y 2 + z 2 -   2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 2

∂ F 3 ∂ z = x 2 + y 2 + z 2 -   2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

Podemos colocar x 2 + y 2 + z 2 em evidencia , assim teremos

d i v   F = ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( 3 - 2 ) x 2 + y 2 + z 2 2 = 1 ( x 2 + y 2 + z 2 ) .

Passo 3

Agora podemos começar a resolver a integral

∭ W d i v F → d V = ∭ W 1 ( x 2 + y 2 + z 2 ) d x d y d z

Para calcular esta integral podemos fazer uma mudança para usar as coordenadas esféricas

x = ρ s e n φ c o s θ y = ρ s e n φ s e n θ z = ρ c o s φ

e

d x   d y   d z ⇒ ρ 2 s e n φ d ρ d θ d φ .

Como estamos trabalhando com na região situada entre as esferas de raio a e b, b > a . Temos

a ≤ ρ ≤ b 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ φ ≤ π

Agora podemos reescrever nossa integral como

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ a b 1 ρ 2     ρ 2 s e n φ d ρ r d θ d φ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π s e n φ d φ ∫ a b d ρ

= 2 π ( - c o s ϕ ) 0 π   ρ a b = 4 π ( b - a )

Portanto

∭ W d i v F → d V = 4 π b - a .

Passo 4

Como vimos antes

∬ S F →     .   n →   d s = ∭ W d i v F → d V

Sendo assim

∬ S F →     .   n →   d s = 4 π ( b - a ) .

Resposta

∬ S F →     .   n →   d s = 4 π ( b - a ) .

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