10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,   y )   ≠   0 ,   0 ,     ∇   V   x ,   y ⋅ F x , y < 0 .     Seja γ t = x t ,   y t ≠ 0,0 ,   t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t

  1. Prove que g (t) = V (γ (t)) é estritamente decrescente em [0, +∞[.Interprete geometricamente.

Passo 1

No exercício 9 , provamos isso mas vou revisar aqui

g   ( t )   =   V   ( γ   ( t ) )

Se derivarmos, teremos então uma regra da cadeia

g ' x = V '   γ   t ⋅ γ ' t

Como o enunciado diz que

γ ' t = F γ t

Então

g ' t = V '   γ   t ⋅ F γ t

Alem disso, nos disse que

∇   V   x ,   y ⋅ F x , y < 0

Logo

g ' t < 0

Passo 2

Sabemos que

g t =   V   ( x ,   y )   =   x 2   +   y 2  

Logo g é uma função cuja imagem são círculos. E como sua derivada é negativa, ele tende a fazer ciruclos cada vez menores ao passo que t cresce. Quando t → ∞ g vai degenerar num ponto em 0,0 .

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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