10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,   y )   ≠   0 ,   0 ,     ∇   V   x ,   y ⋅ F x , y < 0 .     Seja γ t = x t ,   y t ≠ 0,0 ,   t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t

d )   Prove que lim t → ∞ ⁡ V   ( γ   ( t ) )     existe e é zero.

Passo 1

Essa questão é apenas manipulação dos dados já obtidos. Afinal já sabemos que

g γ t = V x , y = x 2 + y 2

E que

g ' t < 0

Logo g tende a diminuir perpetuamente enquanto t cresce. Logo se aplicar um limite

lim t → ∞ ⁡ g γ t

g tereia que assumir o menor valor possível, e como g é uma família de círculos, o menor possível é aquele que degenera num ponto r = 0

Logo

lim t → ∞ ⁡ g γ t = lim t → ∞ ⁡ V   ( γ   ( t ) )   = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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