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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 25

Nos Exercícios 25-28, encontre o polinômio que irá aproximar F ( x ) ao longo do intervalo dado com um erro de magnitude menor que 1 0 - 3 .

25. F ( x ) = ∫ 0 x s e n   t 2 d t ,   [ 0,1 ]

Passo 1

Fala, pessoal! Ficou confuso com essa questão? Então, acompanha aí o raciocínio para resolver: vamos usar a série s e n   t 2 para calcular a integral e aplicamos os limites de integração. Nesse momento, vamos ter um polinômio em x . Daí, vamos substituir x = 1 nos termos deste polinômio até encontrar um que tenha ordem menor que 1 0 - 3 . Esse vai ser o último termo do polinômio que queremos. Então, bora lá!

A série para s e n   x é

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

então, trocando x por t 2 , encontramos a série para s e n   t 2

s e n   t 2 = t 2 - t 6 3 ! + t 10 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n t 4 n + 2 ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Muito bem! Agora vamos substituir essa série na integral e integrar

∫ 0 x s e n   t 2 d t = ∫ 0 x t 2 - t 6 3 ! + t 10 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n t 4 n + 2 ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅ d t

∫ 0 x s e n   t 2 d t = t 3 3 - t 7 7 ⋅ 3 ! + t 11 11 ⋅ 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n t 4 n + 3 ( 4 n   +   3 ) ⋅ ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅ 0 x

∫ 0 x s e n   t 2 d t = x 3 3 - x 7 7 ⋅ 3 ! + x 11 11 ⋅ 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 4 n + 3 ( 4 n   +   3 ) ⋅ ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Pronto, agora temos um polinômio de x mas só precisamos ir até o termo que tenha ordem menor que 1 0 - 3 . Nós vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar x = 1 para cada um dos termos do polinômio até encontrar o erro que foi pedido no enunciado

x 3 3 | x = 1 = 1 3 ≈ 0,3333

- x 7 7 ⋅ 3 ! | x = 1 = - 1 42 ≈ - 0,2381

x 11 11 ⋅ 5 ! | x = 1 = 1 1320 ≈ 0,0008

Opa! O terceiro termo é menor que 1 0 - 3 . Ou seja, o polinômio do passo anterior só vai até o terceiro termo. Assim, ficamos com

F ( x ) = ∫ 0 x s e n   t 2 d t = x 3 3 - x 7 7 ⋅ 3 ! + x 11 11 ⋅ 5 !

Espero que tenha gostado dessa resolução. Até a próxima!

Resposta

F ( x ) = x 3 3 - x 7 7 ⋅ 3 ! + x 11 11 ⋅ 5 !

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