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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 4

Nos Exercícios 1-10, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por f em a.

4. f x = ln ⁡ ( 1 + x ) ,   a = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

Temos f x = ln ⁡ x e devemos construir os três primeiros polinômios de Taylor centrados em a = 1 . Primeiro, vamos encontrar as três primeiras derivadas da seguinte forma:

f x = ln ⁡ 1 + x → f 1 = ln ⁡ ( 0 + 1 ) = 0

f ' x = 1 1 + x → f ' 1 = 1 1 + 0 = 1

f ' ' x = - 1 1 + x 2 → f ' ' 1 = - 1 ( 1 + 0 ) 2 = - 1

f ' ' ' x = 2 1 + x 3 → f ' ' ' 1 = 2 1 + 0 3 = 2

Passo 2

Podemos agora construir os primeiros polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 da seguinte maneira:

Para o polinômio de ordem 0, obtemos que

P 0 x = f 0 = ln ⁡ 1 = 0

Para o polinômio de ordem 1

P 1 x = f 0 + f ' 0 1 ! x - 0 1

Desenvolvendo um pouco mais os termos,

P 1 x = 0 + 1 1 ! x - 0 1 = x

Passo 3

Já para o polinômio de ordem 2

P 2 x = f 0 + f ' 0 1 ! x - 0 1 + f ' ' 0 2 ! x - 0 2

Substituindo os termos

P 2 x = 0 + 1 1 ! x 1 + 0 + - 1 2 ! x 2

Que nos fornece de resultado

P 2 x = x - 1 2 x 2

E para o polinômio de ordem 3

P 3 x = f 1 + f ' 1 1 ! x - 1 1 + f ' ' 1 2 ! x - 1 2 + f ' ' ' x 3 ! x - 1 3

E com isso,

P 3 x = 0 + 1 1 ! x 1 + 0 + - 1 2 ! x 2 + 2 3 ! x 3

Portanto, nós temos o seguinte resultado

P 3 x = x - 1 2 x 2 + 2 3 x 2

Resposta

P 0 x = 0

P 1 x = x

P 2 x = x - 1 2 x 2

P 3 x = x - 1 2 x 2 + 2 3 x 2

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