Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a

35. f(x) = sen(x) + ln(1 + x)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A série de Maclaurin por sen ⁡ x   é igual a

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! + …

Usando o Problema 55, Seção 10.7, o raio de convergência desta série é , então esta série é absolutamente convergente em ( - ∞ , ∞ ) . Já no caso de ln ⁡ ( 1 + x ) , temos que

∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 n + 1 = x - x 2 2 + x 3 3 - …

Esta é uma série de potência onde a n = - 1 n n + 1 , portanto, lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 = 1 . O raio de convergência desta série é 1. Então esta série é absolutamente convergente em ( - 1,1 ) .

Passo 2

A série de Maclaurin gerada por f x = sen ⁡ x ∙ ln ⁡ ( 1 + x ) é igual a

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - … x - x 2 2 + x 3 3 + …

Com isso, nós temos que

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 n + 1 = x 2 - x 3 2 + x 4 6 - …

Temos que a série de Taylor gerada por sem ⁡ x é absolutamente convergente em toda a reta real e a série de Taylor gerada por ln ⁡ 1 + x é absolutamente convergente apenas em - 1,1 .  

Então a série de Taylor gerada por sen ⁡ x ∙ ln ⁡ ( 1 + x ) é absolutamente convergente apenas na interseção de ( - ∞ , ∞ ) e ( - 1,1 ) , caso contrário, a série de Taylor gerada por ln ⁡ ( 1 + x ) é absolutamente convergente em algum lugar fora do intervalo ( - 1,1 ) .

Resposta

f x = sen ⁡ x ln ⁡ ( 1 + x ) = x 2 - x 3 2 + x 4 6 - …

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