Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.

1 / (2 + x)^3

Passo 1

Podemos reescrever a função como

1 2 + x 3 = 2 + x - 3

Para estar na forma da série binomial, precisamos deixar com a seguinte cara

1 + x k

Para isso, vamos colocar o 2 em evidencia dentro do parênteses e tirá-lo dali

2 + x - 3 = 2 1 + x 2 - 3 = 2 - 3 1 + x 2 - 3

Então podemos colocar na série binomial que é da forma

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n = 1 + k x + k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + k ( k - 1 ) ( k - 2 ) 3 ! x 3 + …

Onde temos uma constante multiplicando que podemos deixar fora da série e k = - 3 , então

2 + x - 3 = 1 8 ∑ n = 0 ∞ - 3 n x 2 n = 1 8 + - 3 8 x 2 + - 3 - 4 2 ! 8 x 2 2 + ( - 3 ) ( - 4 ) ( - 5 ) 3 ! 8 x 2 3 + …

Passo 2

A série binomial genérica

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Converge para x < 1 , temos que

∑ n = 0 ∞ - 3 n x 2 n

Converge para

x 2 < 1

x < 2

Portanto R = 2 .

Resposta

2 + x - 3 = 1 8 ∑ n = 0 ∞ - 3 n x 2 n

R = 2

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