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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 9

Nos Exercícios 1-10, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por f em a.

9. f x = x ,   a = 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

Temos f x = x e devemos construir os três primeiros polinômios de Taylor centrados em a = 4 . Primeiro, vamos encontrar as três primeiras derivadas da seguinte forma:

f x = x 1 / 2 → f 4 = 4 1 / 2 = 2

f ' x = 1 2 x - 1 / 2 → f ' 4 = 1 2 1 4 1 / 2 = 1 4

f ' ' x = - 1 4 x - 3 / 2 → f ' ' 4 = - 1 4 1 4 3 / 2 = - 1 32

f ' ' ' x = 3 8 x - 5 / 2 → f ' ' ' 4 = 3 8 1 4 5 2 = 3 256

Passo 2

Podemos agora construir os primeiros polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 da seguinte maneira:

Para o polinômio de ordem 0, obtemos que

P 0 x = f 4 = 2

Para o polinômio de ordem 1

P 1 x = 2 + 1 4 1 ! x - 4 1 = 2 + 1 4 x - 4

Passo 3

Já para o polinômio de ordem 2

P 2 x = f 4 + f ' 4 1 ! x - 4 1 + f ' ' 4 2 ! x - 4 2

Substituindo os termos

P 2 x = 2 + 1 / 4 1 ! x - 4 1 + - 1 / 32 2 ! x - 2 2

Que nos fornece de resultado

P 2 x = 2 + 1 4 x - 4 - 1 64 x - 4 2

E para o polinômio de ordem 3

P 3 x = f 4 + f ' 4 1 ! x - 4 1 + f ' ' 4 2 ! x - 4 2 + f ' ' ' 4 3 ! x - 4 3

E com isso,

P 3 x = 2 + 1 4 1 x - 4 1 - 1 64 x - 4 2 + 3 256 6 x - 4 3

Portanto, nós temos o seguinte resultado

P 3 x = 2 + 1 4 x - 4 - 1 64 x - 4 2 + 1 512 x - 4 3

Resposta

P 0 x = 2

P 1 x = 2 + 1 4 x - 4

P 2 x = 2 + 1 4 x - 4 - 1 64 x - 4 2

P 3 x = 2 + 1 4 x - 4 - 1 64 x - 4 2 + 1 512 x - 4 3

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Demonstre que a série obtida no Exercício 12 representa cosh ⁡ x para todo x .
Demonstre que a série obtida no Exercício 11 representa x para todo x .
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