Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 24
Demonstre que a série obtida no Exercício 12 representa para todo .
Passo 1
Salve, pessoal! Tudo certo?
No exercício 12 encontramos a série
Uma série representar uma função para todo significa que a soma infinita dos termos da série converge para o valor da função em seu domínio. Em outras palavras, a série de potências define a função para cada dentro de seu intervalo de convergência.
Para que essa série represente a função, precisamos provar que seu erro . Vou explicar porque: é o resto da série de Taylor e ela representa a diferença entre a função e a série de Taylor que representa a ela:
Então se significa que os termos dessa subtração são tão próximos que a diferença entre eles é quase 0, então um pode representar o outro.
Nós conseguimos fazer isso usando a Desigualdade de Taylor que diz que se , então
Como o centro é
Então o que vamos fazer aqui é achar o valor de da equação acima e analisar se ela tende a 0 quando . Nossa incógnita aqui é , então é ela que precisamos começar encontrando e para isso vamos usar:
Bora pro passo a passo!
Passo 2
Para isso, precisamos saber como se comportam as derivadas de . Se derivarmos várias vezes, chegaremos sempre em ou então de forma geral:
ou
Então vamos relacionar essas duas funções para encontrar . Pelas definições das funções hiperbólicas, tiramos que:
Mas temos que para todo , então podemos tirar o módulo já que só retornará valores positivos:
Logo a função ou será menor que ou será o próprio , então ficamos com:
Como precisa ser um valor constante, vamos pegar um valor que obedeça , então podemos dizer que
E podemos usar
Então na desigualdade temos
Passo 3
Agora só precisamos aplicar o limite, para calcularmos o erro em uma série infinita. Temos que para uma função do tipo
Como, . Então por comparação:
Acabamos de mostrar que para todo . Logo, a série
representa a função para todo .
Resposta
Demonstração feita.