Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 47
Calcule a integral indefinida como uma série infinita.
Passo 1
Oi, pessoal! Tudo show?
A questão quer que a gente calcule a integral indefinida:
Como uma série infinita (soma de infinitos termos). Vale lembrar que uma integral indefinida são integrais que não tem limites de integração.
O procedimento é o seguinte: primeiro achamos a série de Maclaurin para:
Depois é só integrarmos termo a termo dessa série e vamos estar calculando a integral como uma série infinita.
Antes vamos precisar achar o valor da série de Maclaurin para a partir da série de Maclaurin para , que já é conhecida por nós da teoria do livro.
Relembrando a série de Maclaurin: A série de Maclaurin nada mais é que a série de Taylor com e é desse formato:
Bora pro passo a passo!
Passo 2
Da teoria do nosso livro (Tabela 11 da sessão 10 do capítulo 11), já temos a série de Maclaurin para :
Mas como o argumento é vamos substituir na série todo termo de por
Fazendo a multiplicação de expoentes :
Para achar o termo a ser integrado, basta multiplicar por :
Multiplicando o :
Juntando as duas potências de com a propriedade:
Prontinho, essa é a série de Maclaurin para .
Passo 3
Agora para integrar:
Podemos colocar a integral dentro do somatório, deixando somente o que tem dentro da integral.
Resolvendo a integral, teremos:
Note que como a integral é indefinida, ou seja, não tem limites de integração, precisamos adicionar a constante no resultado final.