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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 11.10 - Ex. 09

Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = e 5 x

Passo 1

A série de Maclaurin é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = 0

f x = e 5 x ⇒ f 0 = 1

f ' x = 5 e 5 x ⇒ f ' 0 = 5

f ' ' x = 5 2 e 5 x ⇒ f ' ' 0 = 5 2

f ' ' ' x = 5 3 e 5 x ⇒ f ' ' ' 0 = 5 3

f ' ' ' ' x = 5 4 e 5 x ⇒ f ' ' ' ' ( 0 ) = 5 4

f ( 5 ) x = 5 5 e 5 x ⇒ f 5 ( 0 ) = 5 5

Podemos perceber o padrão, de forma geral f n 0 = 5 n

Passo 2

Então a série para a função é

f x = ∑ n = 0 ∞ 5 n n ! x n = ∑ n = 0 ∞ 5 x n n !

Para calcular o raio, vamos usar o teste da razão

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 5 x n + 1 ( n + 1 ) ! ⋅ n ! ( 5 x ) n

= lim n → ∞ ⁡ 5 x n + 1 = 0

O limite é 0 < 1 para todo x então a série de Maclaurin para o e 5 x converge para todo x , portanto seu raio é infinito.

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ 5 x n n !

R = ∞

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