Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 9
Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de . [Suponha que tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que .]
Passo 1
Fala galerinha! Tudo bem com vocês? Bora começar!?
A questão pede que encontramos a série de Taylor para a função centrada no valor de .
Como resolvemos essa questão? Primeiro precisamos ver como é a expressão da serie de Taylor e compreendê-la. Posterior aplicamos derivadas fazendo até encontrar um padrão, e feito isso, conseguimos escrever uma série para a expressão.
A série de Taylor é da forma
Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir , neste caso
A partir da terceira derivada, todos os termos são .
Passo 2
Vamos relembras os valores que obtemos para as derivadas, aplicando , onde
Observamos também que a partir da terceira derivada, o resultado vai sempre zero.
Assim, definimos que a série de Taylor vai ir até , que fornece .
Agora, vamos entender como fica a série expandida até e
Sendo equivalentes:
Agora, aplicamos esses valores na expressão expandida:
Então temos que a série de Taylor para o polinômio é