Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.

1 / (1 + x)^(4)

Passo 1

E aí, futuro cientista, preparado para usar todo o seu talento em cálculo nesta questão de cálculo? Vamos lá!

Primeiro, vamos entender o que é uma série binomial. A série binomial é uma maneira de expandir expressões da forma 1 + x k em uma série de potências. A fórmula da série binomial é:

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Os coeficientes binomiais generalizados k n são definidos como:

k n = k ( k - 1 ) ( k - 2 )   . . .   ( k - n + 1 ) n !

A série binomial convergirá para x < 1 , e esse intervalo onde a s��rie converge é o que chamamos de raio de convergência. O raio de convergência nos diz para quais valores de x a série de potências irá somar a uma função finita.

Para resolver essa questão, vamos usar na série binomial para expandir a função 1 1 + x 4 como uma série de potências.

Primeiro, reescrevamos a função 1 1 + x 4 de uma forma que possamos aplicar a série binomial:

1 1 + x 4 = 1 + x - 4

Passo 2

Vamos aplicar a fórmula da série binomial para k = - 4 . Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da série:

- 4 0 = 1

- 4 1 = - 4 1 = - 4

- 4 2 = ( - 4 ) ( - 5 ) 2 ! =   10

- 4 3 = ( - 4 ) ( - 5 ) ( - 6 ) 3 ! = - 20

Substituindo esses coeficientes na série, obtemos:

1 + x - 4 = 1 - 4 x + 10 x 2 - 20 x 3 + …

Portanto, a série de potências para 1 1 + x 4 é:

1 1 + x 4 = ∑ n = 0 ∞ - 4 n x n = 1 - 4 x + 10 x 2 - 20 x 3 +   …

Passo 3

Agora, vamos determinar o raio de convergência da série binomial. Como mencionamos anteriormente, a série binomial genérica 1 + x k converge para x < 1 . Portanto, a série:

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

também converge para x < 1 , ou seja, o raio de convergência é R = 1 .

Resposta

1 + x - 4 = ∑ n = 0 ∞ - 4 n x n

R = 1

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