Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 22
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
Passo 1
E aí, futuro cientista, preparado para usar todo o seu talento em cálculo nesta questão de cálculo? Vamos lá!
Primeiro, vamos entender o que é uma série binomial. A série binomial é uma maneira de expandir expressões da forma em uma série de potências. A fórmula da série binomial é:
Os coeficientes binomiais generalizados são definidos como:
A série binomial convergirá para , e esse intervalo onde a s��rie converge é o que chamamos de raio de convergência. O raio de convergência nos diz para quais valores de a série de potências irá somar a uma função finita.
Para resolver essa questão, vamos usar na série binomial para expandir a função como uma série de potências.
Primeiro, reescrevamos a função de uma forma que possamos aplicar a série binomial:
Passo 2
Vamos aplicar a fórmula da série binomial para . Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da série:
Substituindo esses coeficientes na série, obtemos:
Portanto, a série de potências para é:
Passo 3
Agora, vamos determinar o raio de convergência da série binomial. Como mencionamos anteriormente, a série binomial genérica converge para . Portanto, a série:
também converge para , ou seja, o raio de convergência é .