Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

Para aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências , vamos precisar calcular o seguinte limite:

Portanto,

Opa! Esse nosso limite vale:

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série converge para o intervalo em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( e )? É o que vamos calcular agora.

Quando , a série se torna alternada e ficamos com a série . Neste caso, podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que nos diz que está série é convergente. Isso ocorre porque os termos da série são alternadamente positivos e negativos, satisfazendo a condição de alternância.

Temos também que os termos diminuem em módulo à medida que aumenta, pois diminui à medida que aumenta. Além do limite dos termos individuais da série quando tende para o infinito ser . Logo, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.

Já para , ficamos com a série , uma p-série com . Sabemos que uma p-série com diverge, então esta série diverge.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por