Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.8 - Ex. 13
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
Show de bola, galera! Nessa questão precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de uma série de potência. Ou seja, queremos saber para quais valores de essa série converge. Para isso precisamos encontrar o raio de convergência utilizando algum método adequado.
Essa série possui um elemento elevado a . O que indica que o teste da razão é uma opção muito razoável.
E o que é o teste da razão?!
É um teste que diz o seguinte sobre as séries:
Uma série qualquer, chamada de , será convergente se:
Será divergente se:
Caso
Então o teste não é conclusivo.
Agora que tudo ficou muito claro. Podemos colocar a mão na massa?!
Passo 2
Vamos definir e :
Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências.
Partiu então calcular o seguinte limite:
Vamos dar uma simplificada nisso? Veja que queremos o limite do módulo. Ou seja, não faz sentido manter os elementos e .
Além disso, sabemos que divisão de fração é a mesma coisa que multiplicação inversa. Então podemos fazer assim:
Ufa!!! Bem melhor né?Vamos continuar as simplificações:
Resolvendo o limite acima, temos:
Lembrando que pelo teste da razão uma série é absolutamente convergente se:
Ou seja:
Passo 3
Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para , ou seja, para . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência .
Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série converge para o intervalo em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( e )? É o que vamos calcular agora.
Passo 4
Para analisar nos extremos, substituímos pelos valores encontrados e testamos a convergência das séries:
Quando , ficamos com a série
Uma vez que
para
,
para .
Desta forma:
(série harmônica divergente). Portanto, a série analisada é divergente.
Já para , ficamos com a série
, que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente. Pois:
É uma série decrescente.
E além disso:
Assim sendo, os dois critérios do teste de séries alternadas foram verificados.
Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por