Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 6

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

E aí, colegas! Tudo certinho?

A questão basicamente quer que a gente chegue nos valores de para quais a série abaixo converge:

Precisaremos achar esse intervalo e testar os valores extremos desse mesmo intervalo para entendermos se eles estão incluídos ou não nos valores que fazer a série convergir.

Quando temos essa missão, dois tipos de testes ajudam muito: o Teste da Raiz e o Teste da Razão. Aqui vamos usar o Teste da razão, lembra dele? calculamos o limite:

Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para )e se o teste é inconclusivo.

Já te adianto que lá pro final do nosso processo vamos precisar de alguns conceitos que seria legal a gente já retomar aqui:

Para a série-p, temos:

É convergente se e é divergente se .

Teste da Série Alternada:

Se a série acima satisfaz as condições: (i) para todo e (ii) , a série converge.

Show? Bora lá.

Passo 2

Através do enunciado, vemos que:

Para precisamos substituir por :

Ao aplicar o Teste da Razão na série dada e já resolvendo a divisão de fração, multiplicando a primeira pelo inverso da segunda, temos que:

Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada usando e cortando os termos iguais, obtemos

Como temos um módulo e o módulo só retorna valores positivos, esse termo pode ser desprezado e já podemos aproveitar para dividir o numerador e o denominador por para facilitar a análise do limite:

Logo, para ser convergente precisamos que o valor do limite seja aquele que o Teste da Razão estabelece:

Portanto, o raio de convergência .

Passo 3

Agora devemos avaliar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para valores tais que:

Tirando do módulo teremos também os valores iguais aos positivos, mas com sinal trocado:

Para determinar se os extremos -1 e 1 estão inclusos nesse intervalo de convergência, precisamos verificar a convergência nessas extremidades. Vamos fazer isso no próximo passo.