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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 3

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 x + 1 n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( 4 x + 1 ) n + 1 ( 4 x + 1 ) n < 1

Passo 2

Ou seja:

4 x + 1 < 1

Que resulta no seguinte intervalo:

- 1 < 4 x + 1 < 1  

Ou:

- 1 2 < x < 0  

Logo, quando x = - 1 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n → s é r i e   d i v e r g e n t e

E quando x = 0 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n → s é r i e   d i v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1/4, enquanto o intervalo é - 1 2 < x < 0   .
  2. O intervalo de convergência absoluta é - 1 2 < x < 0  
  3. E por fim, não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1/4, enquanto o intervalo é - 1 2 < x < 0   .
  2. O intervalo de convergência absoluta é - 1 2 < x < 0  
  3. E por fim, não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

Exercícios de Livros Relacionados

a ) O que é o raio de convergência de uma série de potências? Como você o encontra? b ) O que é o intervalo de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .21. ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2
Em cada um dos problemas 19 e 20, verifique a equação dada.19. ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x - 1 n
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .22. ∑ n = 0 ∞ a n x n + 2
Em cada um dos problemas 19 e 20, verifique a equação dada.20. ∑ k = 0 ∞ a k + 1 x k + ∑ k = 0 ∞ a k x k + 1 = a 1 + ∑ k = 1 ∞ ( a k + 1 + a k - 1 ) x k