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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 4

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = 3 1 - x 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês!? Vamos gabaritar essa!

Vamos compreender o enunciado primeiro, beleza? Temos uma função f ( x ) da qual precisamos encontrar uma série de potências e determinar seu intervalo de convergência.

f x = 3 1 - x 4

E agora?

Bom, vamos pensar juntos. Observe a função f ( x ) , e repare que conhecemos uma série de potência bem parecida. Olhe para a série geométrica, onde r é a razão:

S = 1 1 - r = ∑ n = 0 ∞ r n

Conseguiu ver a semelhança entre elas? Agora, fazendo alguns ajustes ela vai ficar parecida e vamos conseguir expressar em série de potência.

Já para determinarmos o intervalo de convergência, vamos utilizar do critério de convergência da serie geométrica. A série converge para

r < 1

E ai, vamos colocar mão na massa!

Passo 2

Como já mencionado, vamos comparar f ( x ) com a série de potências geométrica:

S = 1 1 - r = ∑ n = 0 ∞ r n

Agora, vamos fazer uma mudança com a nossa f ( x ) para que ela se pareça com S. Vejamos só:

f x = 3 1 - x 4 = 3 ⋅ 1 1 - x 4 = 3 ⋅ 1 1 - x 4

Percebam que se trocarmos x 4 por r , temos exatamente 3 vezes a função S . Portanto, basta mudar r por x 4 na série e multiplica-la por 3, isto é:

f x = 3 1 - x 4 = 3 ⋅ ∑ n = 0 ∞ x 4 n

Assim, f ( x ) em série de potência fica:

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 3 ⋅ x 4 n

Passo 3

Vamos avaliar o intervalo de convergência.

Lembra que mencionamos antes que a serie converge para:

r < 1

E avaliando nossa serie, temos que a razão é:

r = x 4

Logo,

x 4 < 1

x 4 < 1

x < 1 4

x = ± 1

- 1 < x < 1

Portanto, o seu intervalo de convergência é - 1 < x < 1 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ 3 ⋅ x 4 n

Intervalo de convergência: - 1 < x < 1 .

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