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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 33

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ 1 2 * 4 * 8 * … ( 2 n ) x n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 2 * 4 * 8 * … ( 2 n ) ( 2 n + 1 ) * n ! 2 * 4 * 8 * … ( 2 n ) x n < 1

Ou:

x lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 2 < 1   p a r a   q u a l q u e r   x

Passo 2

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é ∞ e a série converge para qualquer x.
  2. A série converge absolutamente para qualquer x.
  3. Não há valores para quais a série converge condicionalmente.

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é ∞ e a série converge para qualquer x.
  2. A série converge absolutamente para qualquer x.
  3. Não há valores para quais a série converge condicionalmente.

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine o raio de convergência da série de potência dada.7. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 x + 2 n 3 n
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da serie ∑ n = 1 ∞ n 2 n n 2 + 1 x n
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da serie ∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 n n x n
35.Uma função f é definida por f x = 1 + 2 x + x 2 + 2 x 3 + x 4 + … isto é, seus coeficientes são c 2 n = 1 e c 2 n + 1 = 2 para todo n ≥ 0 . Ache o intervalo de convergência e encontre uma fórmula e
Mostre que, se l i m n → ∞| c n | n = c onde c ≠ 0 , então o raio de convergência da série de potências ∑ c n x n é R = 1 c .