Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x.

∑ n = 0 ∞ 3 n x n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Ou:

l i m n → ∞ 3 n + 1 x n + 1 3 n x n < 1

Passo 2

Desenvolvendo matematicamente, chegamos em:

x lim n → ∞ ⁡ 3 < 1

Ou seja:

x < 1 3

O que resulta no seguinte intervalo:

- 1 3 < x < 1 3

Passo 3

Logo, quando x = - 1 / 3 , temos:

∑ n = 0 ∞ 3 n - 1 3 n = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n → s é r i e   d i v e r g e n t e  

E quando x = 1 / 3 , temos:

∑ n = 0 ∞ 3 n 1 3 n = ∑ n = 0 ∞ 1 → s é r i e   d i v e r g e n t e  

Resposta

∑ n = 0 ∞ 3 n x n = ∑ n = 0 ∞ 3 x n

A série é geométrica convergente quando está no intervalo - 1 3 < x < 1 3 e a soma é

1 1 - 3 x

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