Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 41

Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x.

∑ n = 0 ∞ 3 n x n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Ou:

l i m n → ∞ 3 n + 1 x n + 1 3 n x n < 1

Passo 2

Desenvolvendo matematicamente, chegamos em:

x lim n → ∞ ⁡ 3 < 1

Ou seja:

x < 1 3

O que resulta no seguinte intervalo:

- 1 3 < x < 1 3

Passo 3

Logo, quando x = - 1 / 3 , temos:

∑ n = 0 ∞ 3 n - 1 3 n = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n → s é r i e   d i v e r g e n t e  

E quando x = 1 / 3 , temos:

∑ n = 0 ∞ 3 n 1 3 n = ∑ n = 0 ∞ 1 → s é r i e   d i v e r g e n t e  

Resposta

∑ n = 0 ∞ 3 n x n = ∑ n = 0 ∞ 3 x n

A série é geométrica convergente quando está no intervalo - 1 3 < x < 1 3 e a soma é

1 1 - 3 x

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 73-78:a. Utilize séries de potências para avaliar o limite.b. Em seguida, utilize um gráfico para provar seus cálculos75. lim t → 0 ⁡ 1 2 - 2 cos ⁡ t - 1 t 2
Nos Exercícios 73-78:a. Utilize séries de potências para avaliar o limite.b. Em seguida, utilize um gráfico para provar seus cálculos.77. lim z → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ z ln ⁡ 1 - z + sem ⁡ z
Nos Exercícios 73-78:a. Utilize séries de potências para avaliar o limite.b. Em seguida, utilize um gráfico para provar seus cálculos76. lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h - cos ⁡ h h 2
Nos Exercícios 73-78:a. Utilize séries de potências para avaliar o limite.b. Em seguida, utilize um gráfico para provar seus cálculos74. lim θ → 0 ⁡ e θ - e - θ - 2 θ θ - sen ⁡ θ
Controle de qualidade – a. Derive a série 1 1 - x = 1 + x + x 2 + … + x n + … Para obter uma série para 1 1 - x 2 .b. Jogando-se dois dados de uma vez, a probabilidade de se obter 7 é p = 1 / 6 . Se v