Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 11
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da serie
Passo 1
Show de bola, galera! Nessa questão precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Perceba que se trata de uma série de potência, ou seja, há uma variável que pode tomar algum valor arbitrário. Então queremos encontrar para quais valores de essa série converge.
Perceba também que temos: . Que é um elemento elevado a . Isso nos indica que faz bastante sentido tentar utilizar o teste da razão. Isso é bem importante, lê de novo! 😊
Vamos recordar o que diz o teste da razão:
Uma série qualquer, chamada de , será convergente se:
Será divergente se:
Caso
Então o teste não é conclusivo.
Passo 2
Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências.
Temos que:
Então
Passo 3
Agora a gente faz
E isso vai dar
Que é uma indeterminação do tipo:
Então temos que simplificar mais a razão para encontrarmos o limite. Vamos dividir por o numerador e o denominador dentro da raiz.
Calculando o limite com
Pelo teste da razão a nossa série
converge quando:
Ou seja:
Então o raio é .
Passo 4
Agora vamos ver o intervalo de convergência. Para isso, vamos verificar os pontos de extremidade do intervalo, ou seja:
E
Vamos testar o que acontece quando
Vemos que essa é uma série alternada, pois cada um de seus termos terá um sinal, o teste da série alternada indica que uma série será convergente se atender duas condições.
- A primeira delas é a série deve ser decrescente (considerando apenas os valores absolutos da série).
- O limite da série formada pelos valores absolutos deve ser
Veja a série
É a série associada que contém apenas os valores absolutos. Podemos ver que ela é decrescente pois conforme o denominador aumenta enquanto o numerador permanece constante. Por esse mesmo motivo podemos ver que:
Quando , a série converge pelo teste da série alternada.
E o que acontece quando ?
(Perceba que aqui não podemos utilizar o teste das séries alternadas pois os termos sempre serão positivos para qualquer .
Essa é uma série harmônica do tipo
Guarde bem essa informação, séries desse tipo só são convergente quando .
Portanto a nossa série diverge, porque é uma p-série com
.
Então o intervalo de convergência é