Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 35
35.
Uma função é definida por
isto é, seus coeficientes são e para todo . Ache o intervalo de convergência e encontre uma fórmula explícita para .
Passo 1
Fala pessoal! Tudo show?
A questão nos deu uma função
Nos mostrou quem são seus coeficientes, e quer que a gente encontre o intervalo de convergência da função, além de pedir pra gente encontrar uma fórmula melhor que defina essa função.
Já que você consegue perceber uma sequência de coeficientes, podemos reescrever assim:
ou
Ambas as séries convergem para e divergem para , de modo que podemos afirmar que a série resultante que define também converge e diverge nesses valores, ou seja, seu intervalo de convergência é .
Passo 2
Agora bora encontrar uma fórmula explícita pra ?
Vamos continuar usando aquelas séries:
Perceba que ambas são séries geométricas, que tem essa cara aqui, então podemos escrever suas somas a partir do primeiro termo e razão. A cara de uma série geométrica é essa aqui:
Para nossa primeira série, temos que nosso e nossa razão .
Assim,
Já para nossa segunda série:
Então, a fórmula fica assim:
Logo,