35.Uma função f é definida por f x = 1 + 2 x + x 2 + 2 x 3 + x 4 + … isto é, seus coeficientes são c 2 n = 1 e c 2 n + 1 = 2 para todo n ≥ 0 . Ache o intervalo de convergência e encontre uma fórmula explícita para f x .

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 35

35.

Uma função é definida por

isto é, seus coeficientes são e para todo . Ache o intervalo de convergência e encontre uma fórmula explícita para .

Passo 1

Fala pessoal! Tudo show?

A questão nos deu uma função

Nos mostrou quem são seus coeficientes, e quer que a gente encontre o intervalo de convergência da função, além de pedir pra gente encontrar uma fórmula melhor que defina essa função.

Já que você consegue perceber uma sequência de coeficientes, podemos reescrever assim:

Ambas as séries convergem para e divergem para , de modo que podemos afirmar que a série resultante que define também converge e diverge nesses valores, ou seja, seu intervalo de convergência é .

Passo 2

Agora bora encontrar uma fórmula explícita pra ?

Vamos continuar usando aquelas séries:

Perceba que ambas são séries geométricas, que tem essa cara aqui, então podemos escrever suas somas a partir do primeiro termo e razão. A cara de uma série geométrica é essa aqui: