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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 36

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ n + 1 - n x - 3 n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Chamaremos:

n + 1 - n = 1 n + 1 + n

Para que assim a gente possa reescrever essa série como:

∑ n = 1 ∞ x - 3 n n + 1 + n

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Ou:

l i m n → ∞ x - 3 n + 1 n + 2 + n + 1 * n + 1 + n x - 3 n < 1

Desenvolvendo matematicamente, chegamos em:

| x - 3 | lim n → ∞ ⁡ n + 1 + n n + 2 + n + 1 < 1

Logo:

x - 3 < 1

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

2 < x < 4

Logo, quando x = 2   , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 1 + n → s é r i e   c o n d i c i o n a l m e n t e   c o n v e r g e n t e  

E quando x = 4 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n n + 1 + n → s é r i e   d i v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 , e o intervalo de convergência da mesma é

    2. 2 ≤ x < 4

  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. 2 < x < 4

  3. A série converge condicionalmente quando x = 2 .

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 , e o intervalo de convergência da mesma é

    2. 2 ≤ x < 4

  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. 2 < x < 4

  3. A série converge condicionalmente quando x = 2 .

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