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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 35

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ 1 + 2 + 4 + … + n 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 x n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Chamaremos:

1 + 2 + 4 + … + n = n n + 1 2

E também chamaremos:

1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

Para que assim a gente possa reescrever essa série como:

∑ n = 1 ∞ n n + 1 2 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 x n = ∑ n = 1 ∞ 3 2 n + 1 x n

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Ou:

l i m n → ∞ ( 3 x ) n + 1 2 n + 1 + 1 * ( 2 n + 1 ) 3 x n < 1

Desenvolvendo matematicamente, chegamos em:

| x | lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 n + 3 < 1

Logo:

x < 1

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

- 1 < x < 1

Logo, quando x = - 1   , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ( 3 ) 2 n + 1 → s é r i e   c o n d i c i o n a l m e n t e   c o n v e r g e n t e  

E quando x = 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ 3 2 n + 1 → s é r i e   d i v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 , e o intervalo de convergência da mesma é

    2. - 1 ≤ x < 1

  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 1 < x < 1

  3. A série converge condicionalmente quando x = - 1 .

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 , e o intervalo de convergência da mesma é

    2. - 1 ≤ x < 1

  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 1 < x < 1

  3. A série converge condicionalmente quando x = - 1 .

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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 1 ∞ x n 2 n + 1
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 0 ∞ ( n x ) n n + 2
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ ( x - 1 ) n n 3 3 n