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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 18

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 0 ∞ n x n 4 n ( n 2 + 1 )

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ( x ) n + 1 4 n + 1 ( n 2 + 2 n + 2 ) * 4 n ( n 2 + 1 ) n x n < 1

Ou:

x 4 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n 2 + 1 n n 2 + 2 n + 2 < 1

Desenvolvendo matematicamente:

| x | < 4

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

- 4 < x < 4

Logo, quando x = - 4 , temos:

∑ n = 1 ∞ n - 1 n n 2 + 1 → s é r i e   c o n d i c i o n a l m e n t e   c o n v e r g e n t e

E quando x = 4 , temos:

∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1 → s é r i e   d i v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 4 , e o intervalo de convergência da mesma é - 4 ≤ x < 4
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 4 < x < 4

  3. A série converge condicionalmente quando x = - 4 .

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 4 , e o intervalo de convergência da mesma é - 4 ≤ x < 4
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 4 < x < 4

  3. A série converge condicionalmente quando x = - 4 .

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