Use a série de Maclaurin de e x para calcular e 0,2 com precisão de cinco casas decimais.

Passo 1

Fala galerinha, tudo bem? Vamos lá gabaritar essa questão!?

O que precisamos fazer? Vamos entender o enunciado. Precisamos usar a série de Maclaurin de e x para calcular o valor de e 0,2 com até cinco casas decimais.

Como vamos fazer? Iniciamos usando a desigualdade de Taylor, pois como estamos procurando o erro em um ponto específico e não um intervalo, facilita a manipulação e resolução.

A desigualdade de Taylor diz que se f n + 1 ( x ) ≤ M , então

R n x ≤ M n + 1 ! x - a n + 1

Passo 2

Vamos dizer que f x = e x , e queremos então calcular f ( 0,2 ) com precisão de cinco casas.

Então, vamos usar a desigualdade de Taylor para calcular o erro e acharmos para qual n temos um erro menor que 10 - 5 .

A desigualdade de Taylor diz que se f n + 1 ( x ) ≤ M , então

R n x ≤ M n + 1 ! x - a n + 1

Como a série de Maclaurin tem centro 0

R n x ≤ M n + 1 ! x n + 1

Como estamos procurando o erro em um ponto específico e não um intervalo, podemos usar M = f n + 1 ( x ) , então temos

R n x ≤ f n + 1 ( x )   n + 1 ! x n + 1

Outra coisa que podemos notar é que f n x = e x sempre, pois sempre que derivamos a exponencial, acabamos com ela novamente, ela não sai do nosso pé, mas para o nosso cálculo isso é bom

R n x ≤ e x   n + 1 ! x n + 1

Perceba que eu já tirei do modulo, porque a exponencial é sempre positiva, então o módulo não é necessário.

Agora podemos substituir o nosso ponto x = 0,2

R n x ≤ e 0,2   n + 1 ! 0,2 n + 1

Passo 3

Vamos testando valores de n até achar um R n x ≤ 10 - 5 .

Para n = 2

R 2 0,2 ≤ e 0,2   3 ! 0,2 3 = 1,6 × 10 - 3

Para n = 3

R 3 0,2 ≤ e 0,2   4 ! 0,2 4 = 8,1 × 10 - 5

Para n = 4

R 4 0,2 ≤ e 0,2   5 ! 0,2 5 = 3,3 × 10 - 6

Pronto, achamos que R 4 0,2 < 10 - 5 , então precisamos de no mínimo n = 4 para a precisão pedida.

Passo 4

Temos então que

T 4 x = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 24

E podemos aproximar e 0,2 como sendo

e 0,2 ≈ T 4 ( 0,2 )

e 0,2 ≈ 1,22140

Resposta

e 0,2 ≈ 1,22140

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