Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 37
Use a série de Maclaurin de para calcular com precisão de cinco casas decimais.
Passo 1
Fala galerinha, tudo bem? Vamos lá gabaritar essa questão!?
O que precisamos fazer? Vamos entender o enunciado. Precisamos usar a série de Maclaurin de para calcular o valor de com até cinco casas decimais.
Como vamos fazer? Iniciamos usando a desigualdade de Taylor, pois como estamos procurando o erro em um ponto específico e não um intervalo, facilita a manipulação e resolução.
A desigualdade de Taylor diz que se , então
Passo 2
Vamos dizer que , e queremos então calcular com precisão de cinco casas.
Então, vamos usar a desigualdade de Taylor para calcular o erro e acharmos para qual temos um erro menor que .
A desigualdade de Taylor diz que se , então
Como a série de Maclaurin tem centro
Como estamos procurando o erro em um ponto específico e não um intervalo, podemos usar , então temos
Outra coisa que podemos notar é que sempre, pois sempre que derivamos a exponencial, acabamos com ela novamente, ela não sai do nosso pé, mas para o nosso cálculo isso é bom
Perceba que eu já tirei do modulo, porque a exponencial é sempre positiva, então o módulo não é necessário.
Agora podemos substituir o nosso ponto
Passo 3
Vamos testando valores de até achar um .
Para
Para
Para
Pronto, achamos que , então precisamos de no mínimo para a precisão pedida.
Passo 4
Temos então que
E podemos aproximar como sendo