Propriedades de aproximação dos polinômios de Taylor - Suponha que f ( x ) seja derivável em um intervalo centrado em x = a e que g x = b 0 + b 1 x - a + … + b n x - a n seja umpolinômio de grau n com coeficientes constantes b 0 , … , b n . Seja E x = f x - g ( x ) . Mostre que se impusermos em g as condições i) E a = 0 , O erro de aproximação é zero em x = a .ii) lim x → a ⁡ E x x - a n = 0 , O erro é insignificante quando comparado a x - a n .Então g x = f a + f ' a x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … + f n a n ! x - a n . Dessa forma, o polinômio de Taylor P n ( x ) é o único polinômio de grau menor ou igual a n cujo erro é zero em x = a e insignificante quando comparado com x - a n .

Enunciado

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Usando a condição (i) , nós temos que , entendendo que , então, temos que . Agora, vamos usar a condição (ii), aplicando o limite

Agora, vamos usar a regra de L’Hospital, portanto

Todos esses termos da derivada vão se igualar a , com isso,

Utilizando a regra de L’Hospital novamente,

Pela lógica, obtemos que

Ou seja, temos um padrão, que é igual a

Expandindo isto para a função de

Respondido acima!