Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 40
Propriedades de aproximação dos polinômios de Taylor - Suponha que seja derivável em um intervalo centrado em e que seja um
polinômio de grau n com coeficientes constantes . Seja . Mostre que se impusermos em g as condições
i) , O erro de aproximação é zero em .
ii) , O erro é insignificante quando comparado a .
Então
Dessa forma, o polinômio de Taylor é o único polinômio de grau menor ou igual a cujo erro é zero em e insignificante quando comparado com .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Usando a condição (i) , nós temos que , entendendo que , então, temos que . Agora, vamos usar a condição (ii), aplicando o limite
Agora, vamos usar a regra de L’Hospital, portanto
Todos esses termos da derivada vão se igualar a , com isso,
Passo 2
Utilizando a regra de L’Hospital novamente,
Pela lógica, obtemos que
Ou seja, temos um padrão, que é igual a
Expandindo isto para a função de
Resposta
Respondido acima!