Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 49
Calcule a integral indefinida como uma série infinita.
Passo 1
E aí, turma! Tudo tranquilo?
A questão quer que a gente calcule a integral indefinida:
Como uma série infinita (soma de infinitos termos). Vale lembrar que uma integral indefinida é uma integral que não tem limites de integração.
O procedimento é o seguinte: primeiro achamos a série de Maclaurin para:
Depois é só integrarmos termo a termo dessa série e vamos estar calculando a integral como uma série infinita.
Antes vamos precisar achar o valor da série de Maclaurin para a partir da série de Maclaurin para , que já é conhecida por nós da teoria do livro.
Relembrando a série de Maclaurin: A série de Maclaurin nada mais é que a série de Taylor com e é desse formato:
Vamos ao passo a passo!
Passo 2
Da teoria do nosso livro (Tabela 11 da sessão 10 do capítulo 11), já temos a série de Maclaurin para :
O primeiro termo da série, quando é igual a , então se subtrairmos , basta iniciar a série em um termo depois:
Para achar o termo a ser integrado, basta dividir por
Como :
E por fim :
Prontinho, essa é a série de Maclaurin para .
Passo 3
Agora para integrar:
Podemos colocar a integral dentro do somatório, deixando somente o que tem dentro da integral.
Agora, basta integrar, como temos a integral dentro da série. Note que como a integral é indefinida, ou seja, não tem limites de integração, para cada termo temos uma constante de integração que vamos chamar de :
Reescrevendo: